Game Theory with Applications to Finance and Marketing I, Lecture 7 Notes (Nov. 4)
Game Theory with Applications to Finance and Marketing I, Lecture 7 Notes (Nov. 4)
In this part, we shall continue to discuss continuous Lecture 1-1 questions.
Question 1::并购问题
在商业赛局中，并购是一个很重要的问题。来看下面这个例子。
目前，某个公司有管理者$I$，称为incubet manager。在管理者$I$的控制下，公司将获得$Y_I$的收入，管理者自己会拿到$Z_I$的报酬。现在有另一个潜在的管理者，称其为$C$，与管理者$I$竞争。如果让$C$来管理公司，将获得$Y_C$的收入，$C$自己要拿到$Z_C$的报酬。
公司也有两类股东，分别成为$A$与$B$。股东之间会有分红，记为$S_A$与$S_B$。股东有投票权，暂且记录为$V_A$与$V_B$。
如果$C$想要竞争上岗，则要拿到所有股东$100\%$的选票。
可以发现，$C$相当于另一家公司的CEO，想要获得公司的控制权。这就是一种典型的并购。
这个赛局的进行如下：
- $C$先给股东出价，承诺会分给股东多少钱。（假设必须出整数的钱）
- $I$知道了这个消息（要并购），也给股东出价，承诺会分给他们多少钱。（假设必须出整数的钱）
- 最后股东进行投票，选出到底是$C$还是$I$成为公司的manager。
Question 1.1
考虑下面的情况：$S_A = S_B = 50\%$，$V_A = 100\%, V_B = 0\%$。假设股东和manager都知道，$Y_I = 200, Y_C = 180, Z_I = 0, Z_C > 0$。
证明：如果$Z_C \geq 11$，$C$可以以$101$的价格买下所有$A$股东的股票，此时公司的市值为$191$。
Solution to Question 1.1
可以发现，此时$B$股东不重要，$A$股东才是要解决的对象。
在分红模式下，如果是$I$执掌公司大权，则股东$A$与股东$B$各自分$100$元；如果是$C$执掌公司大权，则则股东$A$与股东$B$各自分到90元。
如果$Z_C \geq 11$，那$C$会有一个计策。就是把自己赚到的$11$全部分给股东$A$，让其拿到$101$元。对股东$A$来说，接受是比不接受严格好的策略。而$Z_I = 0$，manager $I$没有办法反制这种策略，且$C$也不会因此获得负收益。因此并购成功。
公司的市值现在变成了多少？原先是$200$。通过这样的手段并购之后，$A$拿到了$101$；$B$拿到了$90$，相加起来是$191$。并购后，公司的市值缩水了。
Question 1.2
考虑下面的情况：$S_A = 70\%, S_B = 25\%$，$V_A = 100\%, V_B = 0\%$。假设股东和manager都知道，$Y_I = 200, Y_C = 180, Z_I = 0, Z_C > 0$。
证明：如果$Z_C \geq 16$，$C$并购成功，并且公司市值此时为$196$。
Solution to Question 1.2
与之前相同，同样专心在解决$A$股东上。
- $I$上台，$A$分到$200 \times 3/4 = 150$；$B$分到$50$；
- $C$上台，$A$分到$180 \times 3 / 4 = 135$；$B$分到$45$。
在这种情况下，$C$补偿给$A$股东$16$，即可让$A$股东获利$151 > 150$，$A$股东有兴趣出售自己的股票。并购成功。
此时，公司市值为$151+45 = 196$，相较于Question 1.1，公司市值提升了。
Question 1.3 (One share, One vote)
现在我们要通过这个例子介绍一个重要的股份原则：One share, One vote。
此时假设$S_A = 100\%, S_B = 0\%$，并且$V_A = 100\%, V_B = 0\%$。
证明：只有$Z_C \geq 21$的情况下，并购成功，且公司市值为201。
Solution to Question 1.3
很显然，此时在$I$掌权，股东获得$200$的利益；$C$掌权获得$180$的利益。必须要补充21才能够使得股东获利$201 > 200$，并购才能成功。
One share One vote原则让并购者必须要花更多钱摆平股东，公司的市值也随之提升，公司变好了。
Question 1.4 (free rider problem)
现在仍然假设$S_A = 100\%, S_B = 0\%$，并且$V_A = 100\%, V_B = 0\%$。不过，$I$与$C$的盈利能力发生变化。设$Y_I = 10, Y_C = 100$。
$C$该如何出价以实现并购的目标？
Solution to Question 1.4
看起来一个简单的想法是出价$11$元，但是存在很多问题。
- 股东数目很多，收买某一个单独股东并不能获得很多的投票权，不在投票中占优势。
- 存在free rider！一个股东会考虑到，反正自己的投票似乎是微不足道，如果$99.99999999999\%$的人都答应了，那基本上也拿到了$100%$的投票权。我不卖出，不就获利$100$了么？
- 此时每个股东都会这么想，因此$11$并不能收买到任何一个股东。
怎么办？此时$C$不得不出价$100$。公司市值也从$10$成功上升到$100$。
Question 1.5
现在假如倒反天罡。$S_A = 0\%, S_B = 100\%$。且$V_A = 100\%, V_B = 0\%$。$Y_I = 10, Y_C = 100$，且$Z_I = 0 < 1 < Z_C$。
这个时候该如何出价进行并购？
Solution to Question 1.5
这时公司的所有权和投票权完全分离开了。因此，可以通过一系列手段进行操作。
$C$只需要出价$1$即可买下$A$手中的投票权。此时公司的市值又上涨了！到达了$101$。
Conclusion
这个例子告诉我们：
- one share one note的原则是保护公司市值的重要方法，能最大程度保证在并购时公司的市值至少不下降；
- 如果并购出现，我们希望最大程度榨取并购者的个人所得$Z_C$，让其能吐出更多的钱给到公司使用。
Question 2::Value of Commitment
在一个有第三方的情况下，双方可以同时承诺给到第三方一个cost，从而控制自己的payoff比出卖对方来的差，从而达到一个较好的均衡。
Question 3::Hirshleifer Effect
下面我们来了解一下所谓的Hirshleifer Effect。它告诉我们，即使拥有了更多的资讯，也不一定能得到更多的payoff。
在上面的博弈中，Player是$A$与$B$。双方在$t = 2$时候的payoff由state决定。如果$\text{state} = 1$，则player A收获$2$的payoff；如果$\text{state} = 2$，则player B收获$2$的payoff。
Case 1::No extra information arrive at $t = 1$
假如在$t = 1$时候没有新的information（即两人都不知道$t = 2$时将会是什么state），双方可以通过签订一个contract的方式来确保双方的payoff最大化。即：
- 如果$t = 2$时出现$\text{state} = 1$的情况，则player A提供给player B $1$的payoff；
- 如果$t = 2$时出现$\text{state} = 2$的情况，则player B提供给player A 1的payoff。
这样的话双方的expected payoff为：
\[\begin{align*} \text{expected payoff of player A} & = \frac {1} {2} \times u(1) + \frac {1} {2} \times u(1) \\ & = u(\frac {0 + 2} {2}) \\ & > \frac {1} {2} u(0) + \frac {1} {2} u(2) \end{align*}\]（利用Jenson inequality可得）
发现通过议定contract后，player A的期望payoff一定严格大于未议定contract的期望payoff。达成contract让双方的情况都变好了。
Case 2::Extra Information Arrive at $t = 1$
假设在$t = 1$时候，一方获得了information，双方自然无从议定contract。
从获利方的角度，自然$u(2) > u(1) > u(0)$。但是从总福利的角度，$u(0) + u(2) < u(1) + u(1)$。
这便是所谓的Hirshleifer Effect。
有了更多的information，总payoff居然下降了。
This is the end of Lecture 1-1. $\blacksquare$
Reference
This note is mainly derived from Chyi-mei Chen’s Game Theory with Applications to Marketing and Finance, I Course @ National Taiwan University. Thanks him for giving this kind of excellent lecture.